ko_mix, вы его просто водой мыли или с шампунем? Чего-то всё это на аллергию больше всего похоже, хотя непонятно на что. Может у щена всё-таки есть блохи? Если на их укус есть аллергия, то и одной достаточно чтобы чесался. А когда вы его брали он тоже так себя вёл?
Можно попробовать на время совсем убрать сухятину, не давать сыра и посмотреть на результат. Но наверное лучше всего действительно к вету сходить. Если один ничего не видит, идти к другому. Это обычная практика, пока своего не найдёте.
На счёт капель: маленьким безопаснее всего Фронтлйн спрей, Барс - слишком токсичен, он и для взрослых-то не очень.
Спят щенки в этом возрасте действительно довольно много, особенно если жарко, это нормально.